菜鳥學數學

圖1.當蒙娜麗莎的圖像左右翻轉時，中間垂直的紅色向量方向保持不變。而水平方向上黃色的向量的方向完全反轉，因此它們都是左右翻轉變換的特徵向量。紅色向量長度不變，其特徵值為1。黃色向量長度也不變但方向變了，其特徵值為-1。橙色向量在翻轉後和原來的向量不在同一條直線上，因此不是特徵向量。


由於一個矩陣A乘以一個向量v 後，所得到的向量仍保有原來的方向，表示存在一個數λ，使得Av = λv 對於此特殊之向量我們給予下面之名稱：


定義 ：
假設 A 是一個n階矩陣， λ∈R， 若存在向量 v≠0 ∈ Rn ，使得 Av = λv，則稱 λ 是 A的一個固有值或特徵值
(eigenvalue or characteristic value)，此 v 則稱為 A 對應於 λ 的一個固有向量或特徵向量
( eigenvector or characteristic vector)。

這些概念在純數學和應用數學的眾多領域中都有重要的應用。在線性代數和泛函分析之外，甚至在一些非線性的情況下，這些概念都是十分重要的。

「特徵」一詞來自德語的eigen，由希爾伯特在1904年首先在這個意義下使用（亥姆霍兹在更早的時候也在類似意義下使用過這一概念）。eigen一詞可翻譯為「自身的」，「特定於...的」，「有特徵的」或者「個體的」—這強調了特徵值對於定義特定的變換被認為是很重要的