向量空間是一個具有某些結構的集合，就是一個代數結構體。
為什麼要定義向量空間呢？因為我們要研究線性函數，而一個線性函數的定義是 :
T(x+y) = T(x) + T(y) ； T(αx) = αT(x)
對
於這樣的一個函數，我們要去研究它，當然不免要去考慮它的定義域應該是什麼樣子的，線性函數不像其它任意的函數可以定義在任意的集合上，也就是說若
x,y 屬於 T 的定義域，那 x+y 也要屬於 T 的定義域，而 αx 也是，而這之後就成為了向量空間中兩個最重要的定義，加法與乘法的封閉性。
加法的封閉性滿足了向量『方向』的完備。
乘法的封閉性貢獻了向量『長度』的完備。
簡單扼要的來說，向量空間就是一個操作的環境，我們只有在這樣的設定之下，才能開始談線性函數。就好像一個場地如果不夠大，我們就無法在這上面舉辦一個大型的運動會一樣。
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