菜鳥學數學

行列式:方陣的數字群,如2乘2(2階),3乘3(3階)等..

行列式求值

Det[M]


假設2階行列式的每一個元素為

a11,a12

a21,a22

則行列式的值

Det[M]=a11*a22-a12*a21


假設3階行列式的每一個元素為

a11,a12.a13

a21,a22,a23

a31,a32,a33

則

Det[M]=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-(a11*a23*a32+a12*a21*a33+a13*a22*a31)



可以用來解聯立方程式



ex1.解x,y

2x+3y=8

3x+y=5



則



x的分母行列式為

2,3

3,1

x分母的行列式值 Det[x分母]=2-9=-7



x的分子行列式為

8,3

5,1

(將 x 的係數,以等號右邊的數字代替)

x分子的行列式值 Det[x分子]=8-15=-7

所以

x=Det[x分子]/Det[x分母]=1



同理

y的分母行列式為

2,3

3,1

分母的行列式值 Det[y分母]=2-9=-7



的分子行列式為

2,8

3,5

(將 y 的係數,以等號右邊的數字代替)

y分子的行列式值 Det[y分子]=10-24=-14

所以

y=Det[y分子]/Det[y分母]=2



(分母的行列式用原來的係數作行列式元素)



同理3元的聯立方程式也可用同一方式解



ex2.解A.B,C

3A+2B+C=10

2A+B+2C=10

A+3B+C=10

這裡解一個A就好,其他請自行練習

A的分母行列式

3,2,1

2,1,2

1,3,1

Det[A的分母]=3+4+6-(18+4+1)=-10

A的分子行列式

10,2,1

10,1,2

10,3,1

Det[A的分子]=10+40+30-(60+20+10)=-10

所以 A=1

其他解答 B=2, C=3



行列式兩邊一般用直線括起來

｜2 , 1｜

｜3 , 4｜

此為2階行列式

兩列之間的直線是連在一起的

數學上所說的"封閉性",是指集合中的元素間

經過某種運算所得之元素還是在同一集合中

例如: R代表所有實數形成的集合,a,b屬於R, a+b(a*b)還是實數,即a+b(a*b)也屬於R

則我們稱實數對加(乘)法具有封閉性[R is closed under +(*)]





例如: Q代表所有有理數形成的集合,a,b屬於Q, a+b(a*b)還是有理數,

即a+b(a*b)也屬於Q

則我們稱有理數對加(乘)法具有封閉性[Q is closed under +(*)]





例如: Z代表所有整數形成的集合,a,b屬於Z, a+b(a*b)還是整數,

即a+b(a*b)也屬於Z

則我們稱整數對加(乘)法具有封閉性[Z is closed under +(*)]

封閉性在數學結構討論上非常重要,若兩個元素經運算後不知"逃"到哪去(不具封閉性)那要怎麼掌握她們的行蹤呢??

向量空間是一個具有某些結構的集合，就是一個代數結構體。

為什麼要定義向量空間呢？因為我們要研究線性函數，而一個線性函數的定義是 :

T(x+y) = T(x) + T(y) ； T(αx) = αT(x)

對 於這樣的一個函數，我們要去研究它，當然不免要去考慮它的定義域應該是什麼樣子的，線性函數不像其它任意的函數可以定義在任意的集合上，也就是說若 x,y 屬於 T 的定義域，那 x+y 也要屬於 T 的定義域，而 αx 也是，而這之後就成為了向量空間中兩個最重要的定義，加法與乘法的封閉性。

加法的封閉性滿足了向量『方向』的完備。

特徵向量(本徵向量或稱正規正交向量)

我們了解一個矩陣乘以一個不為零的向量，相當於將此向量做一些平移、旋轉、伸展、推移之後的結果，

因此我們想知道是否能找到一個向量，經過相同的平移、旋轉、伸展、推移之後，仍保有原來的方向？

在本章中我們將尋找此種向量，並探討其所具有之性質。

圖1.當蒙娜麗莎的圖像左右翻轉時，中間垂直的紅色向量方向保持不變。而水平方向上黃色的向量的方向完全反轉，因此它們都是左右翻轉變換的特徵向量。紅色向量長度不變，其特徵值為1。黃色向量長度也不變但方向變了，其特徵值為-1。橙色向量在翻轉後和原來的向量不在同一條直線上，因此不是特徵向量。


由於一個矩陣A乘以一個向量v 後，所得到的向量仍保有原來的方向，表示存在一個數λ，使得Av = λv 對於此特殊之向量我們給予下面之名稱：


定義 ：
假設 A 是一個n階矩陣， λ∈R， 若存在向量 v≠0 ∈ Rn ，使得 Av = λv，則稱 λ 是 A的一個固有值或特徵值
(eigenvalue or characteristic value)，此 v 則稱為 A 對應於 λ 的一個固有向量或特徵向量
( eigenvector or characteristic vector)。

這些概念在純數學和應用數學的眾多領域中都有重要的應用。在線性代數和泛函分析之外，甚至在一些非線性的情況下，這些概念都是十分重要的。

「特徵」一詞來自德語的eigen，由希爾伯特在1904年首先在這個意義下使用（亥姆霍兹在更早的時候也在類似意義下使用過這一概念）。eigen一詞可翻譯為「自身的」，「特定於...的」，「有特徵的」或者「個體的」—這強調了特徵值對於定義特定的變換被認為是很重要的